디지털 컴퓨터는 데이터 처리, 과학기술, 자동화 분야 등 여러 응용분야에서 활용하고 있다. 이러한 디지털 컴퓨터는 정밀도, 신뢰도, 경제성 측면에서 아나로그 컴퓨터에 비해 우수하며 일상생활에 연관된 모든 분야에서 활용하고 있다. 또한 디지털 컴퓨터를 구성하는 논리 회로는 신호나 물리적인 양 등을 나타내는 정보를 2진수의 구성요소인 0, 1을 사용하여 표현한다.
물론 일상생활에서 사용하는 일반적인 정보 표현 방식과는 차이가 있으나 ON이나 OFF로 표현할 수 있는 디지털 논리 회로는 확실한 2개의 신호 값만을 가지므로 디지털 회로를 구성할 때 신뢰도를 높일수 있다. 이런 이유로 디지털 컴퓨터에서는 자연스럽게 채택할 수 있는 진수의 체계가 2진수 이지만 여러가지 목적에 따라 3진수, 4진수, 7진수 등 응용 진접을 사용할 수 있다.
디지털 컴퓨터에서는 컴퓨터 내부의 데이터나 정보를 제한된 개수의 이산적인 값으로 표시할 수 있다. 예를 들어 10진수 0, 1, 2, .. 9는 10개의 불연속적인 값을 나타낸다. 초기의 디지털 컴퓨터는 10진수를 사용하여 산술 연산을 실행하였는데 여기서부터 디지털 컴퓨터라는 용어가 생겨났다. 그리고 전자부품의 물리적인 제약과 인간의 논리가 2진 이라는 이유 때문에 디지털 시스템들은 오직 2개의 값만 표현하도록 제한하였고 이것을 2진수라고 불렀다.
디지털 컴퓨터는 0과 1의 두 개의 숫자만을 사용하는 2진수 시스템이다. 하나의 2진 숫자를 비트라고 부르며 디지털 컴퓨터에서 정보는 비트의 집합으로 표현한다. 이는 문자를 표현하거나 컴퓨터에서 완전한 명령어 집합을 나타낼 수도 있다. 2진수는 2를 밑으로 하는 수체계이기 때문에 십진수를 2의 거듭제곱의 집합에 가중치를 더하여 2진수로 변활할 수 있다.
스위칭 회로란 컴퓨터 내부에서는 모든 정보를 0 또는 1로 구성한 2진수로 표현한다. 따라서 모든 컴퓨터 내의 구조는 2진수의 정보를 저장하거나 처리할 수 있는 장치들로 구성한다. 2진수의 정보를 표현하는 간단한 장치 중의 하나가 전기 스위치이다. 스위치는 연결 또는 비연결의 두 가지 상태 중 하나로 표현할 수 있다. 따라서 스위치가 연결된 상태를 1이라 하고 연결되지 않은 상태를 0이라 할수있고, 두 개의 스위치는 직렬 또는 병렬로 연결할 수 있다.
1938년 Shannon의 스위칭 이론에 의해 스위치는 2진 정보를 표현하거나 논리 연산을 실행할 수 있다.
1. 직렬 연결된 두 개의 스위치 x1, x2는 모두 연결 상태가 되어야만 입력이 출력으로 연결된다. 즉, 두 스위치의 동작은 AND 논리 연산을 나타낸다.
2. 병렬연결에서는 두 개의 스위치 중 하나만 1상태로 연결되어도 입력이 출력으로 연결되어 OR 논이 연산을 타나낸다.
3. Relay Switch는 x가 0을 입력하면 1이 출력되고, 1을 입력하면 0이 출력하는 NOT 논리 연산을 한다.
부울 대수는 이진 변수와 논리 동작을 취급하는 대수이다. 변수는 A, B, x, y와 같이 문자로 표시하며 세 개의 기본적인 논리 연산자는 AND, OR 및 NOT(보수 또는 부정)이다. 변수의 값이 주어질 때 부울 함수 F는 1이거나 0이 된다. 부울 함수는 진리표와 논리도로 서로 변환이 가능하다. 진리표는 입력과 출력을 0, 1로 작성한 표이고, 논리 회로는 입력과 출력을 게이트로 조합한 회로이다.
부울 대수는 디지털 회로의 해석과 설계를 쉽게 하고 다음과 같은 논리의 상호 변환을 수행하는 편리한 수학적인 대수이다.
1. 변수 사이의 진리표 관계를 대수 형식으로 표시한다.
2. 논리도의 입출력 관계를 대수 형식으로 표시한다.
3. 같은 기능을 가진 더 간단한 회로를 구성한다.
논리 게이트란 디지털 컴퓨터에서 이진 정보를 물리량인 전압 신호를 이용하여 0과 1로 표현한다. 이진 정보의 처리는 게이트라고 하는 논리 회로에서 행해진다. 게이트는 입력 논리의 필요조건을 만족할때 1 또는 0의 신로를 만드는 하드웨어의 블락이다. 여러 종류의 게이트가 있고 각각의 게이트는 기호를 달리 표현하며, 동작은 대수함수의 방법으로 표시한다. 또한 입출력 관계는 진리표로 표시한다.
카르노 맵이란 일반적으로 진리표를 응용하여 다양한 논리 표현식을 얻을 수 있다. 논리 표현식은 부울 대수를 사용해서 간단히 만들수 있으나 여러 가지 규칙이 있다. 카르노 맵 방법은 부울 함수를 손쉽게 간소화할 수 있으므로 널리 사용한다.
진리표에서 변수의 각 조합을 민텀 또는 최소항이라 한다.
맵은 여러 개의 사각형 구역으로 이루어지고, 논리 표현식의 출려이 1이 될 때 해당 민텀의 구역에 1을 넣고, 출력이 0이 될 때 에는 해당 민텀의 구역에 0을 넣거나 아무 것도 넣지 않는다. 보통 0을 넣지 않고 공백으로 비워둔다.
논리합의 곱이란 앞에 예에서 카르노 맵으로부터 유도한 부울 함수는 논리곱의 합이다. 논리곱은 AND항이고 합은 OR항이다.
그러나 경우에 따라서는 논리합의 곱을 쓰는 편이 유리할 때가 있다. 이러한 경우에는 함수가 0이 되는 민텀의 구역에 0을 넣고 입접한 0을 크게 묶는다. 이러한 방법으로 얻은 결과는 F' 이 되므로 De Morgan 정리에 의하여 이중 부정하여 F=(F')'를 얻는다.
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